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10-11-1概率期中(1-4章)答案

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津工业大学 201 业大学( 2011 学年第一学期) 天津工业大学(2010—2011 学年第一学期) 《 10, (第 1-4 章 2010,10 ---------------------装 订 线 》期中试卷 期中试卷 理学院) 理学院) 特别提示:请考生在密封线左侧的指定位置按照要求填写个人信息 若写在 特别提示 请考生在密封线左侧的指定位置按照要求填写个人信息,若写在其 请考生在密封线左侧的指定位置按照要求填写个人信息 若写在其 它处视为作弊。

道大题,请核对后做答, 它处视为作弊。

本试卷共有 6 页,共 八 道大题,请核对后做答,若有疑问请 与监考教师联系。

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满分 题号 得分 评阅人 30 分 一 10 分 二 10 分 三 12 分 四 12 分 五 10 分 六 ----------------------- 学 院 密 封 线 ---------------------------------------装 订 线 ---------------------------------------- 专 业 班 级 满分 题号 得分 评阅人 10 分 七 6分 八 密 封 线 总分 核分人 复查人 ---------------------------------------装 订 线 --------------------------------------- 学 号 填空题( 一. 填空题(每空 2 分,共 30 分) 1. 设随机 A , B 互不相容,且 P ( A) = 0.3 , P( B ) = 0.6 ,则 P ( B A ) = 4/7. 2. 设 A , B 是随机,且知概率 P ( A) = 0.7 , P ( B ) = 0.2 , P( A U B ) = 0.8 ,则 密 封 线 ------------------------------------------ ------------------------------------ P ( A U B ) = 0.9, P ( A A U B ) = 7/9. 3. 10 件产品中有 8 件正品、 2 件次品,从中任意抽取 2 件,抽到的次品数为 X , 姓 名 则 X 的分布律和分布函数分别为 X pk 0 1 2 1/45 28/45 16/45 x<0  0,   28 / 45 , 0 ≤ x < 1 F ( x) =  44 / 45 , 1 ≤ x < 2   1, x≥2  π  a cosx , | x |≤ 2 ,则 P (− π < X ≤ 5π ) =3/4, 4. 设随机变量 X 的概率密度 f X (x) =  6 6  0, 其它  第 1 页 共 8 页

π  y− 1  2 π Y = 3 X + 的概率密度为 f Y ( y ) =  6 cos 3 , 2   0,  − π ≤ y ≤ 2π . else X X 5. 设随机变量 X 1 , X 2 , X 3 相互独立, 1 在 ( − 1, 5 ) 服从均匀分布, 2 ~ N(0 , 22 ) , 3 ~ Exp(2) X (指数分布) ,记 Y = X 1 − 2 X 2 + 3 X 3 ,则 E (Y ) =8, D(Y ) =55. 2 2 6. 设 二 维 正 态 分 布 的 随 机 变 量 ( X , Y )~ N (−1, 2 , 4 , 3 , 0) , 且 知 Φ (1) = 0.8413 , 则 P( X + Y < −4) = 0.1587. a + bx 2 7. 已知随机变量 X 的概率密度 f ( x) =   0 1 0 < x <1 , 且 E ( X ) = ,则 a = 2,b = -3, 4 其他 D( X ) = 1/240. 8. 设 D( X ) = 25 , D(Y ) = 36 , ρ XY = 0.4 ,则 D ( X + Y ) = 85, D ( X − Y ) = 37. 二. (10 分) 某车间有甲乙两台机床加工同一种零件,甲机床加工的零件数量比乙机床多一 倍,甲乙机床加工零件的废品率分别为 0.03,0.02. 两机床加工出的零件放在一起. 试求 (1)任取一个零件是合格品 合格品的概率; 合格品 (2)任取一个零件经检验是废品,试求它是由乙机床生产的概率. 解:设“从放在一起的零件中任取一件发现是甲/乙机床加工的”分别记为 A , 再记“从放在一起的零件中任取一件发现是废品”为 B . 由已知得 A. P ( A) = (1)由全概率公式知 2 1 , P ( A) = ; P ( B A) = 0.03 , P ( B A) = 0.02. 3 3 …… 3’ P( B) = P( A) P( B A) + P( A) P( B A) = 2 1 2 × 0.03 + × 0.02 = ≈ 0.027 . 3 3 75 73 ≈ 0.973. …… 1’ 75 …… 3’ 故任取一个零件是合格品 合格品的概率 P( B) = 1 − P( B) = 合格品 1 × 0.02 1 3 P( A B) = = = . …… 3’ (2)由贝叶斯公式知 P( A) P( B A) + P( A) P( B A) 2 × 0.03 + 1 × 0.02 4 3 3 P( A) P( B A) 第 2 页 共 8 页

三. (10 分)设某型号的电子元件的寿命 X (单位: 小时)的分布密度为 1000 , x > 1000  f ( x) =  x 2  0 , 其它  各元件在使用中损坏与否相互独立,现在从一大批这种元件中任取 5 只,求其中 至少有一只元件的寿命大于 1500 小时的概率。

解:一只元件的寿命大于 1500 小时的概率 ---------------------装 订 线 ----------------------- 学 院 密 封 线 P( X > 1500) = ∫ +∞ −∞ f ( x)dx = ∫ 1000 2 dx = 1000 x 2 3 +∞ …… 4’ ---------------------------------------装 订 线 2 设任取的 5 只元件中寿命大于 1500 小时的元件个数为 Y, Y ~ b(5 , ). …… 2’ 则 3 2 5 242 . 则 P(Y ≥ 1) = 1 − P(Y = 0) = 1 − (1 − ) = 3 243 …… 4’ ---------------------------------------- 专 业 班 级 密 封 线 四. (12 分)设二维离散型随机向量 ( X , Y ) 的分布律为 X 1 Y 1 2 1/24 1/8 1/6 1/8 3/8 1/2 1/12 1/4 1/3 1/4 3/4 1 2 3 ---------------------------------------装 订 线 P(Y = y j ) --------------------------------------- 学 号 P ( X = xi ) 密 封 线 若 X 和 Y 相互独立, 1)填写上表空白部分; 2)求 U = max{ X , Y } 的分布律; 3) ( ( ( ( 求 P ( X > Y ) , 4)求 E (X ) . 解: (2) ------------------------------------------ ------------------------------------ 姓 名 U pk 1 1/24 2 5/8 3 1/3 (3) P( X > Y ) = P( X = 2, Y = 1) + P( X = 3, Y = 1) + P( X = 3, Y = 2) 1 1 1 11 = + + = 8 12 4 24 (4 ) E ( X ) = 1 × 1 1 1 13 + 2× + 3× = . 6 2 3 6 第 3 页 共 8 页 …… 每一小题占 3 分

x  4 , 当0 < x < 1, < y < x 2 五. (12 分)设 ( X , Y ) 的概率密度函数为 f ( x, y) =  ,求(1) f X (x) ; 0, 其它  (2 ) f Y X 1 1 3 1 ( y x ) ; 3) f Y X ( y X = ) ; 4) P ( < Y < X = ) . ( ( 2 8 8 2 解: y y=x y=x/2 0 x (1 ) f X ( x) = ∫ +∞ −∞  x 4dx = 2 x , 0 < x < 1 ∫ x f ( x , y )dy =  2 .  0, else  …… 3’ 2 4 f ( x, y )  = , (2)当 0 < x < 1 时, f Y X ( y x) = f ( x) =  2 x x X  0,  x < y

 x + y , 当 0 < x < 1, 0 < y < 1 六. (10 分)已知 ( X , Y ) 的联合概率密度 f ( x, y ) =  , 其它  0, 2 求(1) P (Y ≥ X ) ; (2) Z = X + Y 的概率密度函数. 解: y 1 y=x^2 ---------------------装 订 线 ----------------------- 学 院 密 封 线 0 1 x ---------------------------------------装 订 线 ---------------------------------------- 专 业 班 级 2 (1) P(Y ≥ X ) = ∫∫ y≥ x2 f ( x , y)dxdy = ∫ ∫ dx 0 1 1 x ( x + y)dy = 2 ∫ 1 x4 13 ( x + − x 3 − )dx = 0 2 2 20 1 …… 4’ (2) Z = X + Y 的概率密度函数 f Z (z ) = 密 封 线 ∫ +∞ −∞ f ( x , z − x)dx . …… 1’ ---------------------------------------装 订 线 0 < x < 1 0 < x < 1 f ( x , z − x) ≠ 0 ⇔  ⇔ , 如图 0 < z − x < 1 z − 1 < x < z x x=z --------------------------------------- …… 1’ 学 号 x=z 1 1 密 封 线 ------------------------------------------ ------------------------------------ 0 1 2 z 姓 名 …… 1’ ∴     f Z ( z) =      ∫ [ x + ( z − x)]dx = z 0 z 2 , 0 < z <1 ∫ 1 z −1 [ x + ( z − x)]dx = z ( 2 − z ), 1 ≤ z < 2 0, else …… 3’ 第 5 页 共 8 页

七. (10 分)某单位发行彩票 100000 张,每张售价 2 元. 设有一等奖 1 个,奖金 20000 元; 二等奖 2 个,奖金 10000 元;三等奖 10 个,奖金 1000 元. 若卖出了 N 万张, (1)试分析 发行单位的平均收益是多少? (2) 该发行项目的风险可用哪个数字特征度量 (只答不算) ? 解:设售出的 N 万张彩票中,中 i 等奖的有 Xi 张, i=1,2,3. 故 X i ~ b(10000N , pi ) 其中,p1 = 1/100000, p2 = 2 /100000, p3 = 10 /100000. 再设发行单位的收益为 Y 万元,则 …… 3’ Y = 2 N − 2 X 1 − X 2 − 0. 1 X 3 (1)平均收益为 …… 1’ E (Y ) = E (2 N − 2 X 1 − X 2 − 0.1X 3 ) = 2 N − 2 E ( X 1 ) − E ( X 2 ) − 0.1E ( X 3 ) = N (2 − 2 × 1 2 − − 0.1 × 1) = 1.5 N (万元 ) 10 10 …… 2’ …… 2’ …… 2’ (2)该项目的风险可以用收益 Y 的方差或标准差来度量。

八. (6 分)已知 A 的概率 P( A) = 0 , B 是任意一个,证明: A, B 相互独立. 证明:Q P( A) = 0 , AB ⊂ A ,∴ 0 ≤ P( AB) ≤ P( A) = 0 ,从而 ∴ P( AB) = 0 …… 3’ ∴ P( AB) = P( A − AB) = P( A) − P( AB) = 0 = P( A) P( B) 于是 A, B 相互独立. 证毕。

…… 3’ 第 6 页 共 8 页

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