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高等数学(一)试题(附答案)

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高等数学(一)试题(附答案) 一、填空题(每小题1分,共10分) _________ 1.函数y=arcsin√1-x2 _________ √1- x2 1 + ────── 的定义域为_______________。

2.函数y=x+ex 上点( 0,1 )处的切线方程是______________。

f(Xo+2h)-f(Xo-3h) 3.设f(X)在 Xo 可导且f'(Xo)=A,则lim ─────────────── =___。

h→o h 4.设曲线过(0,1) ,且其上任意点(X,Y)的切线斜率为2X,则该曲线的方程是___。

x 5.∫─────dx=_____________。

1-x4 1 6.lim Xsin───=___________。

x→∞ X 7.设f(x,y)=sin(xy) ,则fx(x,y)=____________。

_______ R √R2-x2 8.累次积分∫ dx ∫ 0 0 f(X2 + Y2 )dy 化为极坐标下的累次积分为_______。

d3y 3 d2y 9.微分方程─── + ──(─── )2 的阶数为____________。

dx3 x dx2 ∞ ∞ 10.设级数 ∑ an 发散,则级数 ∑ an _______________。

n=1 n=1000 二、单项选择题(在每小题的四个备选答案中,选出一个正确的答案,将其码写在题干的○内,1~10每小题1分, 11~20每小题2分,共30分) (一)每小题1分,共10分 1 1.设函数f(x)=── ,g(x)=1-x,则f[g(x) ]= ( ) x 1

1 ①1- ── x 1 1 ②1+ ── ③ ──── x 1- x ④x 1 2.x→0 时,xsin──+1 是 ( ) x ①无穷大量 ②无穷小量 ③有界变量 ④变量 3.下列说法正确的是 ( ) ①若f( ②若f( ③若f( ④若f( X X X X )在 )在 )在 )在 X=Xo 连续, 则f( X )在 X=Xo 可导 X=Xo 不可导,则f( X )在 X=Xo 不连续 X=Xo 不可微,则f( X )在 X=Xo 极限不存在 X=Xo 不连续,则f( X )在 X=Xo 不可导 4.若在区间(a,b)内恒有f'(x) 〈0,f"(x) 〉0,则在(a,b)内曲线弧y=f(x)为( ) ①上升的凸弧 ②下降的凸弧 ③上升的凹弧 ④下降的凹弧 5.设F'(x) = G'(x),则 ( ) ① F(X)+G(X) 为常数 ② F(X)-G(X) 为常数 ③ F(X)-G(X) =0 d d ④ ──∫F(x)dx = ──∫G(x)dx dx dx 1 6.∫ │x│dx = ( ) -1 ① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3 7.方程2x+3y=1在空间表示的图形是 ( ) ①平行于xoy面的平面 ②平行于oz轴的平面 ③过oz轴的平面 ④直线 x 8.设f(x,y)=x3 + y3 + x2 ytg── ,则f(tx,ty)= ( ) y 2

①tf(x,y) 1 ②t f(x,y) t2 2 ③t3f(x,y) ④ ──f(x,y) an+1 ∞ 9.设an≥0,且lim ───── =p,则级数 ∑an ( ) n→∞ a n=1 ①在p〉1时收敛,p〈1时发散 ②在p≥1时收敛,p〈1时发散 ③在p≤1时收敛,p〉1时发散 ④在p〈1时收敛,p〉1时发散 10.方程 y'+3xy=6x2y 是 ( ) ①一阶线性非齐次微分方程 ②齐次微分方程 ③可分离变量的微分方程 ④二阶微分方程 (二)每小题2分,共20分 11.下列函数中为偶函数的是 ( ) ①y=ex ②y=x3+1 ③y=x3cosx ④y=ln│x│ 12.设f(x)在(a,b)可导,a〈x1〈x2〈b,则至少有一点 ζ∈(a,b)使 ( ) ①f(b)-f(a)=f'(ζ) (b-a) ②f(b)-f(a)=f'(ζ) (x2-x1) ③f(x2)-f(x1)=f'(ζ) (b-a) ④f(x2)-f(x1)=f'(ζ) (x2-x1) 13.设f(X)在 X=Xo 的左右导数存在且相等是f(X)在 X=Xo 可导的 ①充分必要的条件 ②必要非充分的条件 ③必要且充分的条件 ④既非必要又非充分的条件 d 14.设2f(x)cosx=──[f(x) 2 ,则f(0)=1,则f(x)= ] dx ①cosx ②2-cosx ③1+sinx 3 () () ④1-sinx

15.过点(1,2)且切线斜率为 4x3 的曲线方程为y= ( ) ①x4 ②x4+c ③x4+1 ④x4-1 1 x 16.lim ─── ∫ 3tgt2dt= ( ) x→0 x3 0 1 ① 0 ② 1 3 xy 17.lim xysin ───── = ( ) x→0 x2+y2 y→0 ① 0 ② 1 ③ ∞ ④ sin1 () ③ ── ④ ∞ 18.对微分方程 y"=f(y,y') ,降阶的方法是 ① 设y'=p,则 y"=p' dp ② 设y'=p,则 y"= ─── dy dp ③ 设y'=p,则 y"=p─── dy 1 dp ④ 设y'=p,则 y"=── ─── p dy ∞ ∞ n 19.设幂级数 ∑ anx 在xo(xo≠0)收敛, 则 ∑ anxn 在│x│〈│xo│ ( ) n=o n=o ①绝对收敛 ②条件收敛 ③发散 ④收敛性与an 有关 sinx 20.设D域由y=x,y=x2 所围成,则∫∫ ─────dσ= D x 1 sinx ① ∫ dx ∫ ───── dy 0 x x __ 1 4 ()

√y sinx ② ∫ dy ∫ ─────dx 0 y x __ 1 √x sinx ③ ∫ dx ∫ ─────dy 0 x x __ 1 √x sinx ④ ∫ dy ∫ ─────dx 0 x x 三、计算题(每小题5分,共45分) 1 ___________ / x-1 1.设 y= / ────── √ x(x+3) 求 y' 。

sin(9x2-16) 2.求 lim ─────────── 。

x→4/3 3x-4 dx 3.计算 ∫ ─────── 。

(1+ex )2 t 1 dy 4.设x= ∫(cosu)arctgudu,y=∫(sinu)arctgudu,求─── 0 t dx 5.求过点 A(2,1,-1) ,B(1,1,2)的直线方程。

___ 6.设 u=ex+√y +sinz,求 du 。

x asinθ 7.计算 ∫ ∫ 0 0 rsinθdrdθ 。

y+1 8.求微分方程 dy=( ──── )2dx 通解 。

x+1 3 9.将 f(x)= ───────── 展成的幂级数 。

(1-x) (2+x) 5

四、应用和证明题(共15分) 1. (8分)设一质量为m的物体从高空自由落下,空气阻力正比于速度( 比例常数为k〉0 )求速度与时间的 关系。

___ 1 2. (7分)借助于函数的单调性证明:当x〉1时,2√x 〉3- ── 。

附:高等数学(一)参考答案和评分标准 一、填空题(每小题1分,共10分) 1. (-1,1) 2.2x-y+1=0 3.5A 4.y=x2+1 1 5.──arctgx2+c 2 6.1 7.ycos(xy) π/2 π 8.∫ dθ ∫ f(r2)rdr 0 0 9.三阶 10.发散 二、单项选择题(在每小题的四个备选答案中,选出一个正确的答案,将其码写在题干的○内,1~10每小题1 分,11~20每小题2分,共30分) (一)每小题1分,共10分 1.③ 6.② 2.③ 7.② 3.④ 8.⑤ 4.④ 9.④ 5.② 10.③ (二)每小题2分,共20分 6

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