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cosx积分求法

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第九届大学生科技活动周 第九届大学生科技活动周 理科论文大赛论文 题 n 2 目: ∫0 cos tdt 通用解法的探讨 π 二级学院:工程技术学院 二级学院:工程技术学院 专 作 业:电子信息工程 者:08.2 徐彭飞 20080342007 08.6 杨 萍 20080342086 联系电话: 联系电话:158******** 二〇一二年四月二十五 一二年四月二十五

∫ π 2 0 cos n tdt 通用解法的探讨 摘要:在高等数学微积分中,求解含有 cosn x 的积分很多,对 cosn x 的积分, 无论是偶次幂还是奇次幂求解都很麻烦,在做大量含有 cosn x 的积分的题的过程 中,通过思考总结并对此进行演算,发现了解此类积分的通用公式,希望对读者 在以后解微积分时有所帮助, 下面通过从特殊开始演算并通过简单的证明来说明 此公式的正确性。

关键词:积分 cosx 通用公式

引言 π 针对积分 ∫ 2 0 cos n tdt 的解法,不同的人可能有不同的见解,大家或许都有 同感,一次、两次幂的积分还比较容易,三次以上的此类积分就比较复杂了,对 ∫ ∫ π 2 0 cos n tdt 的积分,应该分为两类,即 n 为奇数和 n 为偶数。

下面为 cos n tdt 的求解公式: π π 2 0 ∫ 2 0 cos2ntdt = (2n −1)(2n − 3) •...5• 3•1 π × 2n(2n − 2) •... • 4 • 2 2 n=1、2、3… ∫ π 2 0 cos2n-1tdt = π (2n − 2) 2n − 4) •... • 4 • 2 ( (2n −1)(2n − 3) •... • 3•1 n=2、3、4… 当 n=1 时, ∫ 2 0 costdt = 1 。

本文将会对 cost 的奇次幂和偶次幂的积分分别讨论。

一、cost 的次方为奇次时的 先从一般计算过程中发现规律 ∫ π 2 0 cos n tdt 的求解公式的论述 当 n = 1时 : ∫ π 2 0 1 c o st d t = s i n t | 2 = = 1; 1 0 π 当 n = 3时 : ∫ π 2 0 co s td t = 3 ∫ 2 π 2 0 co s 2 td sin t ) ( = ∫ π 2 0 1 2 (1 − sin t ) d sin t ) = (sin t − sin 3 t ) | 2 = ; ( 3 3 0 π 当 n = 5时: ∫ π 2 0 cos tdt = 5 ∫ 2 π 2 0 cos 4 td sin t ) ( 2 1 8 4× 2 ( = ∫ 2 (1 − sin t ) d sin t ) = (sin t − sin 3 t + sin 5 t ) | 2 = = ; 0 3 5 15 5 × 3 0 2 π π 当 n = 7时 : ∫ π 2 0 c o s td t = 7 ∫ 2 π 2 0 3 co s 6 td sin t ) ( = ∫ π 2 0 (1 − sin t ) d s in t ) = ( 3 ∫ π 2 0 (1 − 3 sin 2 t + 3 s in 4 t − sin 6 t ) d sin t ) ( 3 1 16 6× 4×2 = (s in t − sin t + sin 5 t − sin 7 t ) | 2 = = 5 7 35 7 × 5× 3×1 0 … π

从上面的特殊值的运算可以看出满足 ∫ π 2 0 cos2n-1tdt = (2n−2) 2n−4)•...•4•2 ( (2n−1)(2n−3)•...•3•1 ,下面对一般情况时进行简单的证明: n=2、3、4… ∫ π 2 0 cos tdt =∫2 cos2n−2td sint) ( 2n-1 0 π =∫2 (1−sin2t)n−1d sint) ( 0 0 1 k n− 1 =∫2[Cn−1 +Cn−1(−sin2 t)+ n−1(−sin2 t)2 +...Cn−1(−sin2 t)k +...+Cn−1(−sin2 t)n−1]d sint) C2 ( 0 n−1 0 1 k =∫2[Cn−1 +Cn−1sin2 t(−11 + n−1sin4 t(−1 2 +...Cn−1sin2k t(−1 k +...+Cn−1 sin2n−2 t(−1 n−1]d sint) ) C2 ) ) ) ( 0 1 k n− 1 Cn−1 3 1 C2−1 5 2 Cn−1 2k+1 k Cn−1 2n−1 n−1 π n =[sint + sin t(−1 + sin t(−1 +... ) ) sin t(−1 +...+ ) sin t(−1 ]|0 ) 2 3 5 2k +1 2n−1 1 k n− 1 Cn−1 1 C2−1 2 Cn−1 Cn−1 k n =1+ (−1 + (−1 +... ) ) t(−1 +...+ ) (−1 n−1 ) 3 5 2k +1 2n−1 π π π 上式比较复杂,我暂时没能想出用笔直接算结果,只能借助 MATLAB 来得出结果 1+ 1 C n −1 C2 Ck C n −1 ( − 1)1 + n −1 ( − 1) 2 + ... n −1 t ( − 1) k + ... + n −1 ( − 1) n −1 3 5 2k + 1 2n − 1 (2 n − 2) 2 n − 4) • ... • 4 • 2 ( = (2 n − 1)(2 n − 3) • ... • 3 • 1

二、cost 的次方为偶次时的 ∫ π 2 0 cos n tdt 的求解公式的论述 当n = 1时: ∫ π 2 0 π 1 1 1 1 1 π π 2 cos tdt = ∫ ( + cos2t)dt=( t + sin2t) |0 = • = ; 2 2 2 4 2 2 4 2 2 0 π 当 n = 2时: π 1 1 1 1 1 2 2 cos tdt = ∫ ( + cos 2t)dt= ∫ ( + cos 2t + cos 2 2t)dt ∫ 0 2 2 4 2 4 π 1 1 1 π 1 1 2 2 =( t + sin 2t ) |0 + ∫ ( + cos 4t)dt 0 4 4 4 2 2 π π 3π 3 × 1 π = + = = • ; 8 16 16 4 × 2 2 2 0 4 2 0 π π 当 n = 3时: 1 1 1 π 3 2 3 2 ∫ cos tdt = ∫ ( 2 + 2 cos 2t)dt= 8 ∫0(1 + 3 cos 2t + 3cos 2t+cos 2t)dt π 1 3 3 π 1 π 2 2 2 = [(t + sin 2t ) |0 + ∫ (1 + cos 4t)dt+ ∫ (1-sin 2 2t)d(sin2t)] 0 0 8 2 2 2 1 π 3 = ( + π + 0) 8 2 4 5 5 × 3 ×1 π = π = • 32 6× 4× 2 2 2 0 6 2 0 π π … 由于 cost 的偶次幂的积分特别复杂,我现在无法想到一个合理的方法来证明 一般情况时公式的正确性,但从上述特殊情况来看应该符合,由于我的出发点是 在用公式以便在求含此类积分时简化运算,并且数学知识有限,所以就没对其进 行详细证明,希望对大家以后解题有所帮助。

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