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一道非常难的不定积分题目的解法

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求∫arcsinx * arccosx dx 的不定积分 解题思路:反复运用换元,将 arcsinx 换成 sinx 的形式, 将 arccox 换成 cosx 的形式,最终简化题目的难度! 解题过程:第一步换元:将 arccosx=t (xε[0,1],tε [0, π/2]),从而得出 cost=x.将∫arcsinxarccosx dx 换成 ∫t arcsin(cost) d(cost)。

接下来怎么解呢? 先看看∫arcsinx dx=arcsinx *x- ∫xd(arcsinx) 从而简 化题目的难度!那么你是否会产生一个想法,上面那条题目 是否可以转化呢! 于是∫t* arcsin(cost)* d(cost)= ∫ td(arcsin(cost)cost+sint)= t(arcsin(cost)cost+sint)∫(arcsin(cost)cost+sint)dt 从而求∫ arcsin(cost)cost dt 第二步换元:将 arcsin(cost)=p ,从而 sinp=cost,t=arccos(sinp).最终∫arcsin(cost)cost dt= ∫psinp d(arccos(sinp))= ∫p sinp *(-1/√ 1-(sinp)^2)*cosp dp=∫p sinp*(-1/cosp)*cosp dp=-∫ psinp dp=∫p dcosp=pcosp-∫cosp dp=pcosp-sinp+c 第三步:总结出答案,表示成 x 的形式。

∫arcsin(cost)cost dt= arcsin(cost)(√ 1-cos^t)-cost+c

∫(arcsin(cost)cost+sint)dt= arcsin(cost)(√ 1-cos^t)-cost-cost+c= arcsin(cost)(√ 1-cos^t)-2cost+c ∫arcsinxarccosx dx=arcsinx(√1-x^2)-2x+c 这条题目很难,但是换元转化的思想很重要!!! 淮师 3/25/2010

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